Meervariabelecalculus vanuit eerste principes
Een enkele integraal mat de oppervlakte onder een kromme. De dubbelintegraal meet het volume onder een oppervlak. Bedek een gebied van het vlak met kleine tegels, vermenigvuldig de oppervlakte van elke tegel met de hoogte van het oppervlak erboven, tel ze op, en verklein dan de tegels. Het is het idee van de Riemann-som, getild naar één dimensie hoger.
Je berekent hem door herhaalde integratie: integreer over de ene variabele, dan over de andere. De stelling van Fubini is wat dit praktisch maakt, want voor continue functies mag je in welke volgorde dan ook integreren en hetzelfde antwoord krijgen.
Stel je voor dat je de totale regenval meet die over een heel veld is opgevangen. De regen valt ongelijkmatig, zwaarder in de buurt van de ene hoek, lichter bij de andere, dus je hakt het veld mentaal in kleine vierkantjes, vermenigvuldigt de oppervlakte van elk vierkant met de lokale regendiepte daar, en telt elk lapje op. Door de lapjes te laten krimpen verandert die som in de dubbele integraal van de diepte f(x, y) over het veld.