Meervariabelecalculus vanuit eerste principes
Voeg nog een dimensie toe en je hebt de drievoudige integraal: in plaats van een 2D-gebied te betegelen, vul je een 3D-lichaam met kleine dozen, weeg je elke met de functiewaarde daar, en tel je op. De machinerie is dezelfde als eerder, Riemann-sommen gevolgd door herhaalde integratie, met Fubini die je nog steeds de volgorde laat kiezen.
Over een doos [a,b]×[c,d]×[e,g] zijn het drie geneste enkele integralen: integreer over de ene variabele terwijl de andere vast blijven, dan de volgende, dan de laatste. Elke stap is gewone integratie uit Cursus I.
Denk aan het wegen van een biscuitgebak waarvan de dichtheid van plaats tot plaats verschilt: luchtig dichtbij de bovenkant, dichter en vochtiger naar het midden toe. Om de totale massa te krijgen zou je het in kleine blokjes snijden, het kleine volume van elk blokje vermenigvuldigen met de dichtheid precies daar, en elke kruimel optellen. Het verkleinen van de blokjes verandert die som in de drievoudige integraal van de dichtheid f(x, y, z) over het gebak.