Meetkunde en algebra van lineaire afbeeldingen, vectoren en matrices
Diagonalisatie herschrijft een matrix in zijn eigen meest natuurlijke coördinatenstelsel, het stelsel opgebouwd uit zijn eigenvectoren. In dat stelsel is de matrix diagonaal: hij doet niets anders dan elke eigen-as schalen met zijn eigenwaarde. Een verwarde transformatie wordt een eenvoudige.
Hier heeft P de eigenvectoren als zijn kolommen en is D diagonaal met de eigenwaarden. Lees het product van rechts naar links als een driestapsrecept: P⁻¹ draait naar eigen-coördinaten, D schaalt elke as, en P draait terug. Een rommelige transformatie, uitgedrukt als een pure rek tussen twee veranderingen van blikrichting.
Diagonalisatie maakt matrixmachten bijna gratis. Omdat de middelste P⁻¹P-paren wegvallen, geldt Aᵏ = P Dᵏ P⁻¹, en een diagonaalmatrix tot een macht verheffen verheft gewoon elk diagonaal element tot die macht. Geen herhaalde matrixvermenigvuldiging nodig.