Analiza jednowymiarowa od pierwszych zasad
Czasami y nie jest podane w prostej postaci y = f(x). Zamiast tego jest uwikłane w równanie, tak jak w przypadku okręgu x² + y² = 25. Nadal możesz znaleźć nachylenie stycznej dy/dx bez przekształcania równania, wykorzystując różniczkowanie funkcji uwikłanych.
Cały trik opiera się na jednym założeniu: traktuj y jako ukrytą (uwikłaną) funkcję x. Następnie zróżniczkuj obie strony równania względem x. Za każdym razem, gdy różniczkujesz wyrażenie zawierające y, z reguły łańcuchowej wynika konieczność dopisania czynnika dy/dx, ponieważ y zależy od x.
Wyobraź sobie drabinę opartą o ścianę, która zaczyna się ślizgać. Gdy jej stopa wysuwa się na zewnątrz, jej góra obsuwa się w dół: pozioma pozycja x i pionowa pozycja y zmieniają się razem, zablokowane przez stałą długość drabiny. Nigdy nie rozwiązujesz jednego w odniesieniu do drugiego, a jednak nadal możesz powiązać ich tempo. Różniczkowanie uwikłane robi dokładnie to, różniczkując równanie, które wiąże ze sobą x i y bez konieczności wyodrębniania y.