Analiza jednowymiarowa od pierwszych zasad
Całka jest odpowiedzią na pytanie, które towarzyszy pochodnej: już nie "jak szybko coś się zmienia?", ale "ile tego się zebrało?". Geometrycznie, całka oznaczona reprezentuje pole powierzchni zawarte między krzywą a osią x.
Wyobraź sobie odrysowywanie konturu stawu na papierze milimetrowym w celu obliczenia jego powierzchni. Nie możesz pomnożyć jednej szerokości przez jedną wysokość, ponieważ brzeg jest zakrzywiony. Więc liczysz małe kwadraciki, które mieszczą się pod zarysem: im więcej kwadracików, im gęstsza siatka, tym bliżej twój wynik zbliża się do prawdziwego obszaru. Suma Riemanna to dokładnie to liczenie, a całka to liczba, na której ustala się ta suma, gdy kwadraciki kurczą się do zera.
Pole prostokąta to po prostu szerokość × wysokość. Jednak wykres funkcji to krzywa — nie ma tu jednej ustalonej wysokości, przez którą można by pomnożyć szerokość. Idea Bernharda Riemanna: podziel obszar na cienkie, pionowe prostokąty. Każdy z nich niech będzie tak wąski, by krzywa na jego odcinku wydawała się prawie płaska. Zsumuj pola tych prostokątów, a następnie wyobraź sobie coraz węższe prostokąty.