Analiza wielowymiarowa od pierwszych zasad
Weźmy kwadratową macierz Jacobiego (n wejść, n wyjść), a jej wyznacznik zyska konkretną rolę geometryczną. Z teorii macierzy wynika, że wyznacznik macierzy jest czynnikiem skalującym objętość. Wyznacznik jakobianu mówi Ci o tym, jak bardzo przekształcenie rozciąga lub kurczy mały fragment przestrzeni.
Jeśli |det J| > 1, mały fragment przestrzeni wejściowej po przekształceniu będzie miał większą objętość (lub pole), co oznacza rozciąganie. Jeśli |det J| , objętość będzie mniejsza, czyli nastąpi skurczenie. Jeśli det J = 0, obszar zostaje spłaszczony: przekształcenie redukuje liczbę wymiarów i jest lokalnie nieodwracalne.
Narysuj malutki kwadrat na arkuszu rozciągliwej gumy, a następnie pociągnij za arkusz, aby zniekształcić siatkę. Wyznacznik Jakobianu to pojedyncza liczba informująca o tym, o ile pole tego małego kwadratu wzrosło lub zmalało podczas rozciągania. Pociągnij gumę w obu kierunkach, a kwadrat nadmuchnie się jak balon; zgnieć go w jedno zagięcie, a jego pole spadnie do zera.