Analiza wielowymiarowa od pierwszych zasad
Gradient zawiera wszystkie pierwsze pochodne. Hesjan pakuje wszystkie drugie pochodne funkcji skalarnej f: Rⁿ → R do macierzy. Gdzie gradient daje nachylenie, hesjan daje krzywiznę: jak samo nachylenie się zmienia, gdy poruszamy się wokół.
Zgodnie z twierdzeniem Clairauta (Lekcja 6), Hᵢⱼ = Hⱼᵢ, więc hesjan jest zawsze symetryczny dla gładkich funkcji, o których mówimy. To jest dar: macierze symetryczne mają rzeczywiste wartości własne i ortogonalne wektory własne, a te wartości własne oznaczają dokładnie krzywiznę w kierunkach głównych.
Jeśli gradient jest prędkościomierzem powierzchni, hesjan jest tablicą przyrządów jej krzywizny: informuje, jak samo nachylenie wygina się we wszystkich kierunkach naraz. Powierzchnia zakrzywiająca się dookoła ciebie w górę odczytuje się jak dno doliny; zakrzywiająca się dookoła ciebie w dół odczytuje się jak szczyt kopuły; w jedną stronę w górę, a w drugą w dół to siodło. Hesjan pakuje to wszystko w jedną symetryczną siatkę drugich pochodnych.