Analiza wielowymiarowa od pierwszych zasad
Na prostej mogłeś zbliżać się do punktu tylko z dwóch stron, lewej i prawej. Na płaszczyźnie i w wyższych wymiarach możesz zbliżać się do punktu z nieskończenie wielu kierunków, wzdłuż dowolnej trajektorii. Ta dodatkowa swoboda sprawia, że granice w przestrzeni Rⁿ są znacznie trudniejszym pojęciem, a ta lekcja ma raczej charakter ostrzeżenia niż gotowego przepisu.
Funkcja f ma granicę L w punkcie p tylko wtedy, gdy dąży do tej samej wartości L bez względu na wybraną ścieżkę. Jeśli przybliżanie się wzdłuż dwóch różnych ścieżek daje dwie różne wartości, to granica w tym punkcie nie istnieje.
Zgadzasz się spotkać z przyjacielem przy fontannie pośrodku placu. Możesz iść do niej od wejścia z północy, wschodniej uliczki lub dowolną krętą przekątną przez plac, ale musisz trafić do tej samej fontanny. Granica w Rⁿ wymaga dokładnie tego: funkcja musi zmierzać do jednej wartości bez względu na to, jaką ścieżkę obierzesz. Jeśli dwa podejścia różnią się miejscem dotarcia, nie ma punktu spotkania i granica nie istnieje.