Geometria i algebra odwzorowań liniowych, wektorów i macierzy
Eliminacja Gaussa to usystematyzowany algorytm służący do ręcznego lub komputerowego rozwiązywania równania Ax = b. Główna idea: z użyciem prostych operacji na wierszach przekształcić układ równań do postaci schodkowej (echelon form), a następnie odczytać z niego gotowe rozwiązania, krok po kroku od końca.
Dozwolone są trzy operacje elementarne na wierszach (żadna z nich nie zmienia zbioru rozwiązań): zamiana miejscami dwóch wierszy, pomnożenie wybranego wiersza przez niezerową stałą lub dodanie do jednego z wierszy wielokrotności innego. Korzysta się z nich tak długo, aż kolumna po kolumnie sprowadzi się właściwe wyrazy do zera.
Pierwszy od lewej niezerowy wyraz w każdym kolejnym wierszu to tak zwany element główny układu (pivot). Podążając z góry do dołu, używa się każdego takiego pivota jako punktu zaczepienia by wyzerować wszystko to, co znajduje się bezpośrednio pod nim, do momentu kiedy macierz nabierze postaci macierzy górnotrójkątnej. Przystępuje się wtedy do odwrotnego procesu — podstawiania wstecz (ang. back-substitution). Najniższy wiersz układu wskaże tu z miejsca wartość konkretnej zmiennej, podstawiwszy ją do wiersza ponad nim odsłaniamy następną i tak dalej wędrując po szczeblach w górę.