Geometria i algebra odwzorowań liniowych, wektorów i macierzy
Układ równań liniowych Ax = b leży u podstaw algebry liniowej. Zadaje on pytanie: mając transformację A i wektor docelowy b, jaki wektor wejściowy x w ten cel trafia? Odczytaj to geometrycznie, a to ile będzie rozwiązań stanie się jasne, zanim cokolwiek policzysz.
Można na to spojrzeć z dwóch stron. Obraz wierszowy: każde równanie wyznacza prostą (w przestrzeni 2D) lub płaszczyznę (w 3D), a rozwiązaniem jest punkt, w którym wszystkie one się przecinają. Obraz kolumnowy: wektor b musi dać się wyrazić jako kombinacja liniowa kolumn macierzy A, przy czym wektor x kryje w sobie wagi tej kombinacji.
Geometrycznie mamy tu do czynienia z trzema sytuacjami. Proste przecinają się w jednym punkcie (jednoznaczne rozwiązanie); są równoległe, ale niepokrywające się (brak rozwiązania, „cele” się rozmijają); albo są tą samą prostą (nieskończenie wiele rozwiązań). Złap i poprzesuwaj proste na rysunku, aby zaobserwować te trzy przypadki.