Geometria i algebra odwzorowań liniowych, wektorów i macierzy
Macierz odwrotna A⁻¹ to transformacja, która cofa działanie A. Zastosuj A, a potem A⁻¹, a każdy wektor wróci do punktu wyjścia: A⁻¹A = AA⁻¹ = I. Jeśli A obraca o 30°, jej odwrotność obraca z powrotem o -30°; jeśli A podwaja długości, jej odwrotność dzieli je przez dwa.
Nie każda macierz może być odwrócona. Odwrotność istnieje tylko wtedy, gdy A ma pełny rząd, co równoważnie oznacza, że jej wyznacznik jest różny od zera. Powód jest czysto geometryczny: jeśli A miażdży przestrzeń (spłaszcza jakiś kierunek do zera, jak każda macierz o niepełnym rzędzie), informacja ulega zniszczeniu i nie ma matematycznego sposobu na jej odtworzenie. Taka macierz nazywana jest osobliwą.
Dla macierzy 2×2 istnieje łatwa do zapamiętania formuła zamknięta. Zamień miejscami elementy na głównej przekątnej, zmień znaki pozostałych elementów, a następnie podziel całość przez wyznacznik: