Geometria i algebra odwzorowań liniowych, wektorów i macierzy
Jako że forma kwadratowa xᵀAx przyjmuje wektor i zwraca pojedynczą liczbę, która zmienia się kwadratowo w zależności od x, macierzyowej wersji ax². Gdy x przechodzi przez wszystkie kierunki, ta liczba tworzy powierzchnię, a macierz A (biorąc ją symetryczną) decyduje o kształcie tej powierzchni.
Jej wartości własne są krzywimi wzdłuż osi własnych, a ich znaki klasyfikują kształt powierzchni całkowicie. Wszystkie dodatnie: kocioł otwierający się (definicja dodatnia) z czystym minimum. Wszystkie ujemne: kopuła (definicja ujemna) z maksimum. Różne znaki: siodło, w górę w pewnych kierunkach, w dół w innych.
Zmień znaki wartości własnych na rysunku i obserwuj, jak powierzchnia przekształca się między kociołem, kopułą a siodłem.