Geometria i algebra odwzorowań liniowych, wektorów i macierzy
Macierz to nie tylko siatka liczb. Jest to funkcja, która przekształca przestrzeń: podaj jej wektor x, a ona zwróci nowy wektor Ax. Cała przestrzeń podlega jednolitemu przekształceniu (obrót, rozciąganie, odbicie, ścinanie, rzutowanie), stosowanemu jednocześnie do każdego jej punktu.
To, co czyni ją liniową, to fakt, że zachowuje dwie operacje na wektorach: A(x + y) = Ax + Ay oraz A(cx) = c·Ax. Proste pozostają prostymi, początek układu współrzędnych pozostaje w miejscu, a równomierne siatki przekształcają się w równomierne (choć być może pochylone) siatki.
Oto jak odczytywać macierz na pierwszy rzut oka: jej kolumny pokazują, dokąd trafiają wektory bazowe. Pierwsza kolumna to obraz [1, 0]; druga kolumna to obraz [0, 1]. Gdy wiesz, dokąd trafiają osie układu, całe przekształcenie jest w pełni określone, ponieważ każdy inny wektor jest ich kombinacją liniową.