Cálculo de uma variável a partir dos primeiros princípios
Às vezes y não te é dado como um arrumado y = f(x). Em vez disso está emaranhado numa equação, como um círculo x² + y² = 25. Ainda podes encontrar o declive dy/dx sem desemaranhar, usando diferenciação implícita.
Todo o movimento assenta numa suposição: trata y como uma função (oculta) de x. Depois diferencia ambos os lados da equação em relação a x. De cada vez que diferencias um termo em y, a regra da cadeia acrescenta um fator dy/dx, porque y depende de x.
Imagine uma escada apoiada numa parede a começar a escorregar. À medida que a base desliza para fora, o topo desliza para baixo: a posição horizontal x e a posição vertical y mudam em conjunto, bloqueadas pelo comprimento fixo da escada. Nunca resolve em ordem a um em termos do outro, mas ainda consegue relacionar as suas taxas. A derivação implícita faz exatamente isso, derivando uma equação que liga x e y sem nunca isolar o y.