Cálculo de uma variável a partir dos primeiros princípios
Se a primeira derivada f′ diz o declive, o que diz a derivada do declive? Essa é a segunda derivada f″, e mede como o declive está a mudar, que é a concavidade da curva.
Basta diferenciar duas vezes. Para f(x) = x³: primeiro f′ = 3x², depois f″ = 6x. Podes continuar (terceira, quarta derivadas) diferenciando de cada vez a anterior.
O sinal de f″ diz para que lado a curva se curva. Se f″ > 0 a curva tem concavidade voltada para cima: encaixa para cima como uma tigela (∪), e o declive está a aumentar. Se f″ < 0 tem concavidade voltada para baixo: curva-se para baixo como uma cúpula (∩), e o declive está a diminuir. Onde a concavidade se inverte é um ponto de inflexão.