Cálculo de uma variável a partir dos primeiros princípios
As funções comportam-se como vetores. Já sabes que podes somar duas setas e esticar uma seta por um número. Podes fazer exatamente essas mesmas duas coisas com funções, e quase tudo o que sabes sobre vetores se transfere diretamente.
Para somar duas funções, soma-las ponto a ponto: em cada entrada x, a saída da nova função é apenas a soma das duas saídas. Para escalar uma função por um número c, multiplicas cada saída por c. São estas duas operações que tornam algo um "espaço vetorial".
Pense em duas faixas de áudio a tocar ao mesmo tempo: uma linha de baixo e uma melodia. Para as misturar, soma as duas formas de onda momento a momento, exatamente como se estivesse a somar funções ponto a ponto. E rodar o botão do volume de uma das faixas para 70% é apenas escalar essa função em 0.7 em cada instante. Misturar e alterar o volume são adição e escalamento, os dois movimentos que fazem as funções comportar-se como vetores.