Cálculo multivariável a partir dos primeiros princípios
Uma integral simples mede a área sob uma curva. A integral dupla mede o volume sob uma superfície. Cobre uma região do plano com pequenos ladrilhos, multiplica a área de cada ladrilho pela altura da superfície acima dele, soma tudo e, depois, encolhe os ladrilhos. É a ideia da soma de Riemann elevada a mais uma dimensão.
Calcula-la por integração iterada: integra em relação a uma variável e, depois, à outra. O teorema de Fubini é o que torna isto prático, já que, para funções contínuas, podes integrar em qualquer ordem e obter a mesma resposta.
Imagine medir o total de chuva recolhida sobre um campo inteiro. A chuva cai de forma desigual, mais forte perto de um canto, mais fraca noutro, pelo que divide mentalmente o campo em pequenos quadrados, multiplica a área de cada quadrado pela profundidade da chuva local aí, e soma cada parcela. Deixar essas parcelas encolher transforma essa soma na integral dupla da profundidade f(x, y) sobre o campo.