Cálculo multivariável a partir dos primeiros princípios
Adiciona mais uma dimensão e tens a integral tripla: em vez de ladrilhar uma região 2-D, preenches um sólido 3-D com pequenas caixas, ponderas cada uma pelo valor da função ali e somas tudo. A maquinaria é a mesma de antes, somas de Riemann seguidas de integração iterada, com Fubini ainda a permitir escolher a ordem.
Sobre uma caixa [a,b]×[c,d]×[e,g], são três integrais simples aninhadas: integra em relação a uma variável mantendo as outras fixas, depois à seguinte e, por fim, à última. Cada passo é uma integração ordinária do Curso I.
Pense em pesar um bolo de esponja cuja densidade varia de lugar para lugar: arejado perto do topo, mais denso e húmido em direção ao meio. Para obter a sua massa total, cortá-lo-ia em minúsculos cubos, multiplicaria o pequeno volume de cada cubo pela densidade logo aí, e somaria cada migalha. Encolher os cubos transforma essa soma na integral tripla da densidade f(x, y, z) sobre o bolo.