Cálculo multivariável a partir dos primeiros princípios
As derivadas parciais só dão o declive ao longo dos eixos coordenados, mas tu podes caminhar em qualquer direção. A derivada direcional D_u f responde: se eu der um passo ao longo do vetor unitário u, com que rapidez varia f? A resposta acaba por ser um único produto escalar com o gradiente.
Imagine caminhar por essa mesma colina, mas em vez de virado diretamente para cima escolhe um rumo da bússola, digamos nordeste, e caminha nessa direção. A derivada direcional D_u f é a inclinação que efetivamente sente debaixo das suas botas ao longo desse percurso. Vá na direção mais íngreme e sentirá toda a subida; vire de lado ao longo da encosta e o chão parecerá plano.
Como D_u f = ∇f·u = ‖∇f‖‖u‖cos θ = ‖∇f‖cos θ (porque u é um vetor unitário), a taxa de variação é máxima exatamente quando cos θ = 1, ou seja, quando u aponta ao longo de ∇f. Roda a seta de direção abaixo e observa a leitura do declive atingir o máximo quando ela se alinha com o gradiente e anular-se quando lhe é perpendicular.