Cálculo multivariável a partir dos primeiros princípios
Vista de perto, toda a superfície suave parece plana, tal como a Terra parece plana debaixo dos teus pés. A aproximação linear substitui a função curva, perto de um ponto, pelo plano tangente plano que apenas a toca nesse ponto. O gradiente fornece o declive desse plano.
Lendo por palavras: o novo valor ≈ o valor antigo mais o produto escalar do gradiente com o passo que deste. Esse produto escalar é a derivada direcional vezes o comprimento do passo, a melhor estimativa linear de quanto f se moveu.
Pressione um pequeno autocolante plano numa bola de praia e, mesmo onde este se encontra, a bola curva parece perfeitamente plana. A aproximação linear é esse autocolante: um plano tangente plano que toca a superfície num ponto e serve de substituto para a curva ali perto. Se vaguear demasiado longe pela bola, o autocolante afasta-se da superfície — a previsão desvia-se.