Geometria e álgebra das aplicações lineares, vetores e matrizes
Três quantidades capturam o que uma matriz realmente faz. O espaço coluna é tudo o que Ax consegue alcançar: o espaço gerado pelas colunas, a "região de saída" da matriz. A característica (posto, rank) é a dimensão desse espaço coluna, o número de direções genuinamente independentes que A produz. E o núcleo (null space) é tudo o que A esmaga para zero, todos os x com Ax = 0.
Imagine dar indicações usando pontos de referência. Se disser "vá em direção à torre" e "vá em direção à torre gémea mesmo ao lado", na verdade deu apenas uma direção genuína — a segunda não adiciona nada de novo. A característica conta quantas das direções de uma matriz são verdadeiramente independentes como esta; qualquer direção que colapsa para nenhum movimento pertence ao espaço nulo.
As dimensões obedecem a um balanço limpo, o teorema característica–nulidade: as dimensões de entrada dividem-se nas direções que sobrevivem (característica) e nas direções que são esmagadas (nulidade).