Geometria e álgebra das aplicações lineares, vetores e matrizes
A inversa A⁻¹ é a transformação que desfaz A. Aplica A e depois A⁻¹ e todo o vetor regressa a casa: A⁻¹A = AA⁻¹ = I. Se A roda 30°, a sua inversa roda 30° de volta; se A duplica comprimentos, a sua inversa reduz-nos a metade.
Nem toda a matriz pode ser desfeita. Uma inversa existe apenas quando A é de característica completa, equivalentemente quando o seu determinante é não-nulo. A razão é geométrica: se A achata o espaço (colapsando uma direção para zero, como faz uma matriz de característica baixa), informação é destruída e não há forma de reconstruí-la. Tal matriz é singular.
Para uma matriz 2×2 há uma forma fechada memorável. Troca a diagonal, nega o que está fora da diagonal, divide pelo determinante: