Geometria e álgebra das aplicações lineares, vetores e matrizes
A diagonalização reescreve uma matriz no seu próprio sistema de coordenadas mais natural, o construído a partir dos seus vetores próprios. Nesse sistema a matriz é diagonal: não faz nada além de escalar cada eixo de vetor próprio pelo seu valor próprio. Uma transformação emaranhada torna-se simples.
Aqui P tem os vetores próprios como colunas e D é diagonal com os valores próprios. Lê o produto da direita para a esquerda como uma receita de três passos: P⁻¹ roda para coordenadas de vetor próprio, D escala cada eixo, e P roda de volta. Uma transformação confusa, expressa como um estiramento puro entre duas mudanças de vista.
A diagonalização torna as potências de matriz quase gratuitas. Como os P⁻¹P do meio se cancelam, Aᵏ = P Dᵏ P⁻¹, e elevar uma matriz diagonal a uma potência limita-se a elevar cada entrada diagonal a essa potência. Sem multiplicação matricial repetida necessária.