Geometria e álgebra das aplicações lineares, vetores e matrizes
Dá a ti mesmo alguns vetores e dois movimentos: escalar cada um (multiplicar por qualquer número) e somar os resultados. Qualquer vetor que consigas construir desta forma é uma combinação linear do teu conjunto inicial. A coleção completa de tudo o que é alcançável chama-se espaço gerado (span).
O espaço gerado é a ideia central aqui, por isso imagina-o de forma concreta. Um vetor não-nulo, escalado de todas as maneiras, varre uma reta que passa pela origem. Dois vetores que apontam em direções genuinamente diferentes varrem um plano inteiro. Acrescenta um terceiro que saia desse plano e preenches todo o espaço tridimensional.
Abasteça a sua liquidificadora com dois ingredientes base — digamos uma seta de banana e uma seta de frutos silvestres. Um batido é qualquer mistura onde dimensiona cada base (mais ou menos dela) e as junta; isso é uma combinação linear. O menu completo de todos os batidos que possivelmente poderia misturar a partir dessas bases é o seu espaço gerado — e se ambas as bases puxarem em direções genuinamente diferentes, esse menu preenche todo o plano de sabores.