Geometria e álgebra das aplicações lineares, vetores e matrizes
A transposta Aᵀ espelha uma matriz através da sua diagonal principal: as linhas tornam-se colunas e as colunas tornam-se linhas. A entrada (i, j) troca de lugar com a entrada (j, i). Uma matriz (m×n) torna-se (n×m).
Imagine uma folha de cálculo onde as linhas são pessoas e as colunas são os meses que cada um pagou. Transpor esta inclina a tabela inteira na sua diagonal para que as linhas se tornem colunas: agora as linhas são meses e as colunas são pessoas. Nenhum número é perdido ou alterado — cada valor apenas se move para a sua célula espelhada, onde a sua etiqueta de linha e etiqueta de coluna trocaram de lugar.
Uma matriz que iguala a sua própria transposta, A = Aᵀ, é simétrica: equilibrada em espelho através da diagonal, com Aᵢⱼ = Aⱼᵢ. Estas matrizes são especiais ao ponto de duas lições inteiras, mais à frente, lhes serem dedicadas.