Cálculo de uma variável a partir dos primeiros princípios
Quando duas funções são multiplicadas, você não pode simplesmente multiplicar suas derivadas. Esse é um atalho tentador, e errado. A regra correta contabiliza o fato de que ambos os fatores estão mudando ao mesmo tempo.
Imagine um retângulo cuja largura é f e a altura é g; sua área é f·g. Se ambos os lados crescem um pouco, a área cresce em duas frentes: uma faixa da largura maior, mais uma faixa da altura maior. É por isso que a resposta tem dois termos, não um.
Imagine um jardim retangular cuja largura e altura estão ambas sendo estendidas ao mesmo tempo. A nova área não é apenas uma faixa, você ganha uma faixa ao longo da largura mais comprida e uma faixa ao longo da altura mais alta. É por isso que a regra do produto tem dois termos: quando duas quantidades em mudança se multiplicam, o crescimento de cada uma contribui com sua própria fatia para o total.