Teorema Fundamental do Cálculo

Cálculo de uma variável a partir dos primeiros princípios

Este é o teorema que une todo o curso. Derivadas e integrais, inclinações e áreas, parecem dois mundos separados. O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) mostra que são inversas exatas uma da outra: diferenciar desfaz integrar, e vice-versa.

Defina uma função área A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, a área acumulada sob f desde um início fixo até x. A Parte 1 diz: a taxa a que essa área cresce é exatamente a altura da curva no extremo direito:

Intuitivamente: quando você desloca o extremo direito um pouquinho, a nova fatia de área acrescentada é (altura)×(largura minúscula) = f(x)·dx. Logo, a área se acumula à taxa f(x). A figura mostra a área se preenchendo e a sua taxa de crescimento acompanhando a altura da curva.

Onde isso aparece no MLO TFC é a razão por que podemos transitar livremente entre densidades e probabilidades acumuladas. Uma função densidade de probabilidade (FDP) é a derivada de uma função de distribuição cumulativa (FDC), e a FDC é a integral da FDP: eis a Parte 1 e a Parte 2 em ação. Calcular P(a ≤ X ≤ b) = FDC(b) − FDC(a) é, literalmente, o TFC Parte 2. Sempre que um modelo converte uma densidade numa…
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