Cálculo de uma variável a partir dos primeiros princípios
Nas duas últimas lições, você somou uma lista de números e perguntou para onde o total acumulado caminhava. Agora damos um salto ousado: e se as coisas que estamos somando forem infinitas e infinitamente finas? Esse único movimento — somar pedaços minúsculos e depois passar ao limite — é toda a ideia da integral.
Veja a imagem. Você quer a área sob uma curva, mas o topo é ondulado, então não há uma única altura para multiplicar pela largura. Então você dá um jeito, com cuidado: cubra a região com retângulos verticais finos, cada um tão estreito que a curva fica quase plana ao longo dele. Some as áreas. Você não obterá a resposta exata — os topos dos retângulos ficam acima ou abaixo da curva — mas chegará perto. Em seguida, torne os retângulos ainda mais finos.
Para encontrar a área de uma região com formato estranho, imagine preenchê-la com muitas tiras verticais finas, como empilhar uma fileira de moedas lado a lado sob a curva. Cada tira é tão estreita que seu topo é quase plano, então você pode tratá-la como um simples retângulo e somar as áreas. Quanto mais finas você fatiar as tiras — quanto menor você fizer o Δx — mais perfeitamente a pilha preenche a região, e a área que você obtém se aproxima da resposta exata.