Cálculo de uma variável a partir dos primeiros princípios
Funções se comportam como vetores. Você já sabe que pode somar duas setas e esticar uma seta por um número. Pode fazer exatamente essas mesmas duas coisas com funções, e quase tudo o que você sabe sobre vetores se transfere diretamente.
Para somar duas funções, você as soma ponto a ponto: em cada entrada x, a saída da nova função é apenas a soma das duas saídas. Para escalar uma função por um número c, você multiplica cada saída por c. São essas duas operações que tornam algo um "espaço vetorial".
Pense em duas faixas de áudio tocando ao mesmo tempo: uma linha de baixo e uma melodia. Para misturá-las você soma as duas formas de onda momento a momento, exatamente como somar funções ponto a ponto. E girar o botão de volume de uma faixa para 70% é apenas escalar aquela função por 0.7 a cada instante. Mistura e volume são adição e escala, os dois movimentos que fazem as funções se comportarem como vetores.