Cálculo multivariável a partir dos primeiros princípios
Quando a saída também é um vetor, uma função f: Rⁿ → Rᵐ, um único gradiente não chega. Você precisa da parcial de cada saída em relação a cada entrada. Empilhe-as todas numa matriz e obtém a Jacobiana J, a primeira derivada completa de uma aplicação vetorial.
A linha i de J é apenas o gradiente da i-ésima saída. A Jacobiana é, portanto, uma pilha de gradientes, um por cada coordenada de saída. A sua forma é m × n: tantas linhas quantas saídas, tantas colunas quantas entradas.
Pense na mesa de som de um engenheiro de som, onde cada canal de saída responde a cada botão de entrada. O Jacobiano é essa tabela de sensibilidade escrita: cada entrada diz o quanto uma saída se move quando você mexe em um botão de entrada. Leia ao longo de uma linha para ver tudo o que impulsiona uma única saída; leia para baixo em uma coluna para ver tudo o que um botão controla.