Cálculo multivariável a partir dos primeiros princípios
Torne a Jacobiana quadrada (n entradas, n saídas) e o seu determinante assume uma função geométrica concreta. Da Álgebra Linear, o determinante de uma matriz é o fator pelo qual ela escala o volume. O determinante da Jacobiana diz quanto uma aplicação estica ou encolhe um pequeno pedaço de espaço à medida que este a atravessa.
Se |det J| > 1, uma pequena caixa do espaço de entrada sai maior, pelo que a aplicação expande. Se |det J| , sai menor, pelo que a aplicação contrai. Se det J = 0, a caixa é esmagada até ficar plana: a aplicação colapsa uma dimensão e é localmente não invertível.
Desenhe um pequeno quadrado em uma folha de borracha elástica, depois puxe a folha para distorcer a grade. O determinante Jacobiano é o único número que lhe diz o quanto a área daquele pequeno quadrado cresceu ou encolheu no alongamento. Puxe a borracha em ambas as direções e o quadrado infla; esmague-o em um único vinco e sua área cai para zero.