Cálculo multivariável a partir dos primeiros princípios
A aproximação linear (Lição 9) usou apenas o gradiente e deu um plano tangente plano. Adicione o próximo termo, o construído a partir da Hessiana, e você obtém uma aproximação quadrática: um paraboloide que abraça a superfície, capturando sua curvatura, não apenas sua inclinação.
Leia as três peças: f(x) é a altura, ∇fᵀδ é a correção linear (inclinação), e ½δᵀHδ é a correção quadrática (curvatura). Aquele último termo é uma forma quadrática no passo, exatamente o objeto cujo sinal os autovalores da Hessiana controlam.
Um plano tangente reto descansando sobre uma superfície curva é como colocar uma lâmina de vidro rígida no seu olho: ele toca em um ponto, mas deixa vãos em todos os outros lugares. Uma lente de contato funciona melhor porque é curva para se adequar à superfície do olho, igualando não apenas onde o olho está, mas também como ele se curva. O termo Hessiano ½δᵀHδ é essa curvatura embutida: ele permite que a aproximação abrace a superfície em vez de apenas repousar sobre ela.