Cálculo multivariável a partir dos primeiros princípios
Uma integral simples media a área sob uma curva. A integral dupla mede o volume sob uma superfície. Cubra uma região do plano com pequenos ladrilhos, multiplique a área de cada ladrilho pela altura da superfície acima dele, some tudo e, então, encolha os ladrilhos. É a ideia da soma de Riemann elevada a mais uma dimensão.
Você a calcula por integração iterada: integre em relação a uma variável e, depois, à outra. O teorema de Fubini é o que torna isso prático, já que, para funções contínuas, você pode integrar em qualquer ordem e obter a mesma resposta.
Imagine medir a quantidade total de chuva coletada sobre um campo inteiro. A chuva cai de forma desigual, mais forte perto de um canto, mais fraca em outro, então você mentalmente corta o campo em pequenos quadrados, multiplica a área de cada quadrado pela profundidade da chuva local ali e soma cada pedaço. Deixar os pedaços encolherem transforma essa soma na integral dupla da profundidade f(x, y) sobre o campo.