Cálculo multivariável a partir dos primeiros princípios
Esta última lição amarra as duas metades do curso. Quando você muda de variáveis numa integral substituindo x = g(u), precisa contabilizar como a substituição estica o espaço. Esse fator de estiramento é o determinante da Jacobiana do Módulo 3, de modo que a fórmula final é onde as derivadas e as integrais do curso finalmente se encontram.
Esta é a generalização multivariável da u-substituição do Curso I. Lá, o fator era |dx/du|, uma 'Jacobiana' 1×1. Aqui é |det J_g|, o fator de escala de volume: à medida que a aplicação g comprime ou expande pequenas caixas do espaço u dentro do espaço x, o determinante reescala a integral para que o total permaneça correto.
Tentar integrar sobre uma região circular com ladrilhos quadrados x-y é como pavimentar uma rotatória circular com tijolos retangulares: as bordas nunca se encaixam perfeitamente. Mude para coordenadas circulares (polares) que envolvem o centro e a forma se encaixa naturalmente. O preço pela mudança é o fator de alongamento, que transforma o elemento de área em r dr dθ porque anéis mais distantes do centro cobrem mais espaço.