Cálculo multivariável a partir dos primeiros princípios
Adicione mais uma dimensão e você tem a integral tripla: em vez de ladrilhar uma região 2-D, você preenche um sólido 3-D com pequenas caixas, pondera cada uma pelo valor da função ali e soma tudo. A maquinaria é a mesma de antes, somas de Riemann seguidas de integração iterada, com Fubini ainda permitindo escolher a ordem.
Sobre uma caixa [a,b]×[c,d]×[e,g], são três integrais simples aninhadas: integre em relação a uma variável mantendo as outras fixas, depois à seguinte e, por fim, à última. Cada passo é uma integração ordinária do Curso I.
Pense em pesar um pão de ló cuja densidade varia de lugar para lugar: mais aerado perto do topo, mais denso e úmido em direção ao meio. Para obter sua massa total, você o cortaria em minúsculos cubos, multiplicaria o pequeno volume de cada cubo pela densidade exata dali, e somaria cada migalha. Encolher os cubos transforma essa soma na integral tripla da densidade f(x, y, z) ao longo do bolo.