Cálculo multivariável a partir dos primeiros princípios
Tal como uma função 1-D tem segunda derivada, uma função multivariável tem parciais de segunda ordem. Você diferencia duas vezes. A novidade é que agora pode escolher qual a variável a diferenciar de cada vez, e algo elegante acontece quando você as mistura.
As parciais puras de segunda ordem ∂²f/∂x² e ∂²f/∂y² medem a curvatura ao longo de cada eixo. A parcial mista ∂²f/∂x∂y diferencia primeiro em relação a y e depois em relação a x; mede como a inclinação numa direção varia à medida que você se desloca na outra.
Uma primeira parcial lhe diz a inclinação da encosta; uma segunda parcial lhe diz como essa própria inclinação está mudando conforme você se move, o que é a curvatura da inclinação. Caminhando para o leste, o chão continua ficando mais íngreme ou começa a se nivelar? Essa flexão da inclinação para o leste ∂f/∂x enquanto você segue mais para o leste é a segunda parcial ∂²f/∂x², a curvatura da colina ao longo dessa direção.