Geometria e álgebra de aplicações lineares, vetores e matrizes
Diagonalização reescreve uma matriz em seu próprio sistema de coordenadas mais natural, o construído a partir de seus autovetores. Naquele sistema a matriz é diagonal: ela não faz nada além de escalar cada eixo de autovalor por seu autovalor. Uma transformação emaranhada se torna simples.
Aqui P tem os autovetores como colunas e D é diagonal com os autovalores. Leia o produto da direita para esquerda como uma receita de três passos: P⁻¹ rotaciona para coordenadas de autovalor, D escala cada eixo, e P rotaciona de volta. Uma transformação confusa, expressa como um estiramento puro entre duas mudanças de vista.
Diagonalização torna potências de matriz quase gratuitas. Porque os P⁻¹P do meio se cancelam, Aᵏ = P Dᵏ P⁻¹, e elevar uma matriz diagonal a uma potência apenas eleva cada entrada diagonal àquela potência. Sem multiplicação matricial repetida necessária.