Geometria e álgebra de aplicações lineares, vetores e matrizes
Uma matriz é mais do que uma grade de números. É uma função que transforma o espaço: dê a ela um vetor x e ela devolve um novo vetor Ax. Em todo o plano, ela atua como um movimento coerente (uma rotação, um esticamento, uma reflexão, um cisalhamento, uma projeção) aplicado a todos os pontos de uma só vez.
O que a torna linear é o fato de respeitar as duas operações vetoriais: A(x + y) = Ax + Ay e A(cx) = c·Ax. As retas continuam retas, a origem se mantém fixa, e grades uniformemente espaçadas são levadas em grades uniformemente espaçadas (possivelmente inclinadas).
Eis como ler uma matriz a olho: as suas colunas indicam onde os vetores da base vão pousar. A primeira coluna é a imagem de [1, 0]; a segunda coluna é a imagem de [0, 1]. Assim que você sabe para onde vão os dois eixos, toda a transformação fica determinada, porque todo outro vetor é combinação deles.