Частичные суммы — Математический анализ I

Возьмите последовательность и начните складывать члены по ходу. После одного члена — a₁. После двух — a₁ + a₂. После трёх — a₁ + a₂ + a₃. Каждая такая промежуточная сумма — частичная сумма, обозначается Sₙ — сумма первых n членов.

Частичные суммы сами образуют новую последовательность (S₁, S₂, S₃, …), и можно задать тот же вопрос, что в прошлом уроке: оседает ли эта промежуточная сумма на пределе? Если да, этот предел называется суммой ряда.

Представьте себе банку для чаевых, которую вы постоянно пополняете: каждая промежуточная сумма — это частичная сумма, деньги в банке после последнего взноса. Если каждый взнос вдвое меньше предыдущего — как добавление 1/2 + 1/4 + 1/8 + … доллара — банка сначала наполняется быстро, а затем едва поднимается, прижимаясь к потолку. Этот потолок, который она никогда не пересечет, является суммой ряда, здесь ровно 1 доллар.

Где это встречается в MLЧастичные суммы повсюду в машинном обучении. Кумулятивные потери обучения — промежуточная сумма по шагам. В обучении с подкреплением дисконтированный доход — буквально геометрический ряд: будущие награды умножаются на отношение γ < 1 каждый шаг, а формула 1/(1 − γ) сообщает наибольший возможный суммарный доход.