Мост к интегрированию — Математический анализ I

В прошлых двух уроках вы складывали список чисел и спрашивали, куда идёт промежуточная сумма. Теперь один смелый прыжок: что если складываемое — бесконечно много бесконечно тонких кусочков? Этот единственный приём — сложить маленькие кусочки, затем взять предел — и есть вся идея интеграла.

Вот картина. Нужна площадь под кривой, но верх волнистый, и нет единой высоты для умножения на ширину. Вы хитрите, аккуратно: покрываете область тонкими вертикальными прямоугольниками, каждый настолько узкий, что кривая почти плоская на нём. Складываете их площади. Точного ответа не выйдет — верхи прямоугольников торчат выше или проваливаются ниже кривой — но будет близко. Затем делаете прямоугольники тоньше.

Чтобы найти площадь области необычной формы, представьте, что вы заполняете её множеством тонких вертикальных полосок, словно выстраивая ряд монет бок о бок под кривой. Каждая полоска настолько узкая, что её вершина почти плоская, поэтому вы можете рассматривать её как простой прямоугольник и складывать площади. Чем тоньше вы нарезаете полоски — чем меньше вы делаете Δx — тем плотнее эта стопка заполняет область, и получаемая вами площадь приближается к точному ответу.

Где это встречается в MLЭто мост ко всей непрерывной вероятности. Математическое ожидание E[f(X)] = ∫ f(x)p(x) dx — ровно этот предел-суммы, и когда модель не может вычислить его точно, она прибегает к Монте-Карло: заменяет интеграл средним по случайным выборкам, что и есть сумма в стиле Римана. Каждое «усреднение по распределению» внутри генеративной модели приближает картину выше.