Прямые и многочлены — Математический анализ I

Прежде чем анализ сможет сделать что-то интересное, нужно свободно владеть функциями, на которых он действует. Два семейства несут основной вес в начале: прямые и многочлены. Хорошая новость — почти всё о них читается прямо из формулы, без построения, если знать, куда смотреть.

Прямая — y = mx + b. Наклон m — крутизна (подъём к пробегу); b — точка пересечения оси y. Положительный m наклоняет вверх, отрицательный — вниз, ноль — плоско. Это вся история прямой.

Свеча, сгорающая с постоянной скоростью, представляет собой идеальную прямую линию: её высота уменьшается на одну и ту же величину каждый час, поэтому формула y = mx + b имеет отрицательный наклон m (скорость сгорания) и точку пересечения b (начальная высота). Мяч, подброшенный в воздух, ведет себя иначе — его высота увеличивается, а затем уменьшается, описывая параболу, U-образный график квадратичной функции ax² + bx + c. Одна линия изгибается, другая остается прямой, и формула говорит вам, какая именно, еще до того, как вы нанесете хоть одну точку на график.

Где это встречается в MLМногочлены — сырьё для аппроксимации Тейлора (Модуль 10): вблизи точки почти любая гладкая функция — сигмоида, поверхность потерь — хорошо приближается многочленом низкой степени. И идея дискриминанта обобщается: в оптимизации знак «величины второго порядка» (собственные значения гессиана) говорит, чаша ли это, купол или седло — в точности роль a для параболы здесь.