Многомерный анализ с первых принципов
Одиночный интеграл измерял площадь под кривой. Двойной интеграл измеряет объём под поверхностью. Покройте область плоскости малыми плитками, умножьте площадь каждой на высоту поверхности над ней, сложите, затем сожмите плитки. Это идея римановой суммы, поднятая на размерность.
Вычисляется повторным интегрированием: интегрируете по одной переменной, затем по другой. Теорема Фубини делает это практичным: для непрерывных функций можно интегрировать в любом порядке и получить тот же ответ.
Представьте себе измерение общего количества осадков, выпавших над всем полем. Дождь падает неравномерно: сильнее в одном углу, слабее в другом, поэтому вы мысленно разрезаете поле на маленькие квадраты, умножаете площадь каждого квадрата на местную глубину осадков там и складываете каждый участок. Уменьшение участков превращает эту сумму в двойной интеграл от глубины f(x, y) по полю.