Тройные интегралы — Математический анализ II

Добавьте ещё одно измерение — получите тройной интеграл: вместо покрытия 2D-области вы заполняете 3D-тело малыми коробочками, взвешиваете каждую значением функции и суммируете. Механика та же: римановы суммы, затем повторное интегрирование, Фубини всё ещё позволяет выбирать порядок.

По параллелепипеду [a,b]×[c,d]×[e,g] это три вложенных одиночных интеграла: интегрируете по одной переменной, держа другие фиксированными, затем по следующей, затем по последней. Каждый шаг — обычное интегрирование из Курса I.

Подумайте о взвешивании бисквитного торта, плотность которого меняется от места к месту: воздушный вверху, более плотный и влажный к середине. Чтобы получить его общую массу, вы бы нарезали его на крошечные кубики, умножили небольшой объем каждого кубика на плотность прямо там и сложили бы каждую крошку. Уменьшение кубиков превращает эту сумму в тройной интеграл от плотности f(x, y, z) по торту.

Где это встречается в MLЧтобы найти вероятность данных, когда модель скрывает несколько латентных переменных, интегрируете их все сразу: p(x) = ∭ p(x, z₁, z₂, z₃) dz₁ dz₂ dz₃, тройной (или гораздо больший) интеграл. В реальных моделях размерность уходит в тысячи и нет замкнутой формы, что и есть вся причина, почему ML опирается на оценку Монте-Карло и вариационный вывод для приближения этих сумм-по-всему.