Геометрия и алгебра линейных отображений, векторов и матриц
Квадратичная форма xᵀAx берёт вектор и возвращает число, меняющееся квадратично по x — матричный аналог ax². Когда x пробегает все направления, это число вычерчивает поверхность, а матрица A (симметричная) определяет форму этой поверхности.
Её собственные значения — кривизны вдоль собственных осей, а их знаки полностью классифицируют поверхность. Все положительные: чаша, открытая вверх (положительно определённая) с чистым минимумом. Все отрицательные: купол (отрицательно определённая) с максимумом. Смешанные знаки: седло (неопределённая), вверх в одних направлениях, вниз в других.
Переключайте знаки собственных значений на фигуре и наблюдайте, как поверхность морфирует между чашей, куполом и седлом.