Multivariate calculus from first principles
Gradyan tüm birinci türevleri paketlemişti. Hessian, bir skaler fonksiyonun f: Rⁿ → R tüm ikinci türevlerini bir matrise paketler. Gradyan eğim verirken, Hessian eğrilik verir: etrafta dolaştıkça eğimin kendisinin nasıl değiştiğini.
Clairaut teoremine göre (Ders 6), Hᵢⱼ = Hⱼᵢ, yani Hessian, önemsediğimiz düzgün fonksiyonlar için her zaman simetriktir. Bu bir armağandır: simetrik matrislerin gerçek özdeğerleri ve dik özvektörleri vardır ve o özdeğerler tam olarak temel yönler boyunca eğriliklerdir.
Eğer gradyan bir yüzeyin hız göstergesiyse, Hessian onun eğrilik gösterge panelidir: eğimin kendisinin aynı anda her yönde nasıl büküldüğünü bildirir. Etrafınızda yukarı doğru kıvrılan bir yüzey, bir vadinin dibi gibi okunur; etrafınızda aşağı doğru kıvrılan bir yüzey bir kubbenin tepesi gibi okunur; bir yönde yukarı diğer yönde aşağı kıvrılan bir yüzey ise bir semerdir. Hessian tüm bunları ikinci türevlerin tek bir simetrik ızgarasına sığdırır.