Multivariate calculus from first principles
Jacobian'ı kare yap (n girdi, n çıktı) ve determinantı somut bir geometrik iş üstlensin. Doğrusal Cebir'den bildiğin gibi, bir matrisin determinantı, hacmi ölçeklediği çarpandır. Jacobian determinantı, bir dönüşümün, içinden geçerken uzayın küçük bir parçasını ne kadar gerdiğini veya küçülttüğünü söyler.
Eğer |det J| > 1 ise, girdi uzayının küçük bir kutusu daha büyük çıkar, yani dönüşüm genişler. Eğer |det J| ise, daha küçük çıkar, yani dönüşüm büzülür. Eğer det J = 0 ise, kutu yamyassı edilir: dönüşüm bir boyutu çökertir ve yerel olarak tersinemez hâle gelir.
Esnek bir lastik levha üzerine küçük bir kare çizin, ardından ızgarayı bozmak için levhayı çekin. Jakobyen determinantı, o küçük karenin alanının bu çekmede ne kadar büyüdüğünü veya küçüldüğünü size söyleyen tek bir sayıdır. Lastiği her iki yöne çekerseniz kare balon gibi şişer; tek bir kırışık üzerine sıkıştırırsanız alanı sıfıra düşer.