Yollar-üzerinden-toplam formülü, aslında terim terim yazılmış matris çarpımıdır. Fonksiyonlar vektör değerli olduğunda, zincir kuralı temiz bir Jacobian çarpımına indirgenir ve gerçek otomatik türev sistemlerine güç veren biçim budur.
Bir f ∘ g bileşkesi için, bütünün Jacobian'ı, dış dönüşümün Jacobian'ı (iç çıktıda hesaplanmış) çarpı iç dönüşümün Jacobian'ıdır:
İşi yerine oturtan şey boyut kontrolüdür. Eğer g: Rⁿ → Rᵏ ve f: Rᵏ → Rᵐ ise, o zaman J_g, k×n; J_f, m×k olur ve çarpımları m×n'dir; tam da bütün dönüşümün Rⁿ → Rᵐ gerektirdiği boyut. İç boyut k, tıpkı sıradan matris çarpımında olduğu gibi sadeleşir.
Bunun ML'deki yeriBu çarpım, derin ağların neden kaybolan ve patlayan gradyanlardan muzdarip olduğunun nedenidir. Tekil değerleri 1'in altında olan birçok Jacobian'ı çarp, çarpım hiçliğe doğru küçülür; 1'in üstünde dursunlar, patlar. Artık (residual) bağlantılar, dikkatli başlatma ve normalleştirme; gradyanların birçok katman boyunca geri yolculuğa dayanabilmesi için bu Jacobian çarpımını sağlıklı bir ölçeğe yakın…