Multivariate calculus from first principles
Tek katlı bir integral, bir eğrinin altındaki alanı ölçüyordu. İki katlı integral, bir yüzeyin altındaki hacmi ölçer. Düzlemin bir bölgesini minik karolarla kapla, her karonun alanını üstündeki yüzeyin yüksekliğiyle çarp, hepsini topla, sonra karoları küçült. Bu, Riemann toplamı fikrinin bir boyut daha yukarı taşınmış halidir.
Bunu ardışık integrasyon ile hesaplarsın: önce bir değişken üzerinden, sonra diğeri üzerinden integral al. Bunu pratik kılan şey Fubini teoremidir, çünkü sürekli fonksiyonlar için her iki sırada da integral alıp aynı sonucu elde edebilirsin.
Bütün bir tarlada toplanan toplam yağış miktarını ölçtüğünüzü hayal edin. Yağmur düzensiz yağar, bir köşeye yakın daha şiddetli, başka bir köşede daha hafiftir, bu yüzden zihninizde tarlayı küçük karelere böler, her karenin alanını oradaki yerel yağış derinliğiyle çarpar ve her parçayı toplarsınız. Parçaların küçülmesine izin vermek, bu toplamı tarla üzerindeki derinliğin f(x, y) çift katlı integraline dönüştürür.