Multivariate calculus from first principles
Bir boyut daha ekle ve üç katlı integrale sahip olursun: 2 boyutlu bir bölgeyi karolarla döşemek yerine, 3 boyutlu bir katıyı minik kutularla doldurur, her birini fonksiyonun oradaki değeriyle ağırlıklandırır ve toplarsın. Mekanizma öncekiyle aynıdır: Riemann toplamlarının ardından ardışık integrasyon, Fubini hâlâ sırayı seçmene izin verir.
Bir kutu [a,b]×[c,d]×[e,g] üzerinde bu, iç içe üç tek katlı integraldir: diğerlerini sabit tutarak bir değişken üzerinden integral al, sonra sonrakini, sonra sonuncuyu. Her adım sıradan Ders-I integrasyonudur.
Yoğunluğu yerden yere değişen bir pandispanya tarttığınızı düşünün: üst kısımlara yakın havadar, ortasına doğru daha yoğun ve nemli. Toplam kütlesini bulmak için onu minik küpler halinde doğrar, her küpün küçük hacmini tam oradaki yoğunlukla çarpar ve her kırıntıyı eklerdiniz. Küplerin küçülmesi, bu toplamı pastanın üzerindeki yoğunluğun f(x, y, z) üç katlı integraline dönüştürür.