Geometry and algebra of linear maps, vectors, and matrices
Diyagonalizasyon, bir matrisi kendi en doğal koordinat sisteminde, yani özvektörlerinden kurulan sistemde yeniden yazar. Bu sistemde matris diyagonaldir: her öz-ekseni yalnızca kendi özdeğeri kadar ölçekler. Karmaşık bir dönüşüm basit bir dönüşüme dönüşür.
Burada P matrisinin sütunları özvektörlerdir ve D özdeğerleri içeren diyagonal matristir. Çarpımı sağdan sola üç adımlı bir tarif gibi oku: P⁻¹ öz-koordinatlara döndürür, D her ekseni ölçekler ve P geri döndürür. Karmaşık bir dönüşüm, iki bakış değişimi arasında saf bir esneme olarak ifade edilir.
Diyagonalizasyon matris kuvvetlerini neredeyse bedavaya getirir. Ortadaki P⁻¹P çiftleri sadeleştiği için Aᵏ = P Dᵏ P⁻¹ olur; diyagonal bir matrisi kuvvete yükseltmek ise her diyagonal girdiyi o kuvvete yükseltmekten ibarettir. Tekrarlı matris çarpımı gerekmez.